对奈奎斯特频率感到困惑

Question

假设我有一个1kHz的正弦，所以没有更高的谐波，那么我需要采样它至少在2kHz，以便能够重建它。
但如果我以2kHz采样，但所有的采样都在过零处，那么我的采样信号根本就不是正弦信号，而是已故患者的心电图。这怎么解释呢?

这也可以扩展到更高的采样频率。如果我以10kHz采样一个更复杂的波形，我至少应该得到前5次谐波，但如果波形每次采样都是0，那么我们还是什么都得不到。这并不牵强，对于占空比< 10%的矩形波来说，这是完全可能的。

那么为什么奈奎斯特-香农标准在这里似乎是无效的呢?

Answer 1

你真正需要的就在2千赫采样率采样1千赫正弦波合适。这是$ f_N < f_S / 2 $不$$f\u N\le f\u S/2$$

另外，如果你把信号带入复杂空间，正弦信号就是这种形式$ $ v (t) = Ae ^ {j (f t - 2 \π\θ)}= A (\ cos (f t - 2 \π\θ)+ j \罪(f t - 2 \π\θ))$ $在哪里t是时间,一个振幅,f为频率，θ为相位偏移，$ f_N = f_S / 2这个点是频率“折叠”的地方吗f从- f．在纯正弦信号的情况下，采样后，频率会进一步增加，将采样频率从采样频率中减去。

Non-Sinusoids

对于1 kHz的方波，占空比小于或等于10%，在10 kHz采样，你误解了输入。

首先，你需要把波形分解成傅里叶级数来计算出谐波分量的振幅。你可能会感到惊讶，这个信号的谐波相当大，超过5千赫!(根据经验法则，三次和弦的强度是基本和弦的1/3，第五次和弦是基本和弦的1/5，仅适用于占空比为50%的方波．)

通信信号的经验法则是,你的复杂的带宽是一样的逆最小脉冲的时间,所以在这种情况下你看10千赫带宽最小(5 kHz到5 kHz) 10%的责任周期基本在1千赫(例如10 kbps)。

所以会毁了你的是这些强的高次谐波会折叠并干扰(建设性或破坏性的)你的带内谐波，所以你可能不会得到一个很好的采样，因为有太多的信息在奈奎斯特波段之外。

Answer 2

Mike解释得很好:混叠使采样信号中的谐波消失，将高频率从\$F_S + f\$折叠到\$F_S - f\$。
当使用采样信号时总是必须确保过滤掉任何高于\$F_S / 2\$的内容．

在这个频谱中，蓝色部分是你的基带信号从\$-F_S / 2\$到\$F_S / 2\$的频谱。(见这个问题负频率)。
请注意，这个频谱在\$F_S\$的每个倍数周围重复。在这个例子中没有问题;将原始信号从图像中分离出来，并进行重建。

在这个例子中(只显示正频率)，我们可以看到基带信号扩展到超过\$F_S / 2\$。因为折叠化名和我们的基本信号重叠，我们没办法再过滤掉它们。这就是为什么你需要一个(锐利的)低通滤波器。

现在你可能会说，经过低通滤波后，脉冲看起来会完全不同，这是对的，但如果你不想这样，你就把采样频率选得太低了。(对于一个不连续的信号，如脉冲，它有一个无限的频谱，你将永远有失真，无论你的\$F_S\$)。记住，只有当频率小于\$F_S / 2\$时，才能重构信号。

Answer 3

定理是好的。根据奈奎斯特的说法，你的信号不应该包含等于或高于一半采样率的频率。香农可能同意，但这是他的理论版本，在临界频率可能会引起歧义。

编辑:我认为没有必要解释抽样方法本身。问题是关于“临界频率是否包含在频带中”的混淆，以及香农的定理措辞是否存在错误。事实上是这样的(正如我在维基百科上看到的)。或者最有可能的是，维基的作者引用他的话不准确。顺便说一下，这个定理在20世纪有4个独立的作者，所以任何从随机来源学到这个概念的人都会变得更困惑。

Answer 4

如果你在一个正弦波上有2个样本，并且它们发生在交点处，在{1}{2}N $和$1N $，那么你可以通过这两个样本之间的时间来确定信号的频率。

\ $ f = \ dfrac {1} {2 t} \ $

其中，\$f\$是频率，\$t\$是两个过零样本之间的时间。

但根据维基百科:

从本质上讲，该定理表明，当采样率超过每秒2B个样本(其中B是原始信号的最高频率)时，一个被采样的带限模拟信号可以从无限个样本序列中完美重构。

所以采样频率是这个频率的两倍是错误的就在两倍的频率。通过这种方式，连续采样捕获波形中稍有不同的部分。

Answer 5

当以特定的频率F采样时，每个频率分量f将生成形式为kF+f和kF -f对于k的所有整数值。通常情况下，信号采样时没有F/2以上的频率分量，所以在0到F/2的范围内只有原始信号中存在的频率分量。采样后，F/2以上将会有信号分量(生成为下面那些分量的别名)。这是任何频率中最麻烦的f在本例中，原始信号将是频率为F的信号-f．

注意，作为频率f从下面接近F/2，第一个混叠频率将从上面接近F/2。如果输入包含频率为F/2-0.01Hz的信号，则在频率为F/2+0.01Hz——仅在其上方0.02Hz处会有一个别名。分离原始信号和混叠信号在理论上是可能的，但在实践中是困难的。采样的波形将表现为两个频率几乎相等的等强度波的和。因此，它的振幅似乎会随着高频波的相对相位而变化。在输入频率正好是F/2的情况下，混叠频率也正好是F/2。由于在原始信号和混频信号之间根本没有频率分离，因此分离是不可能的。原始信号和混叠信号之间的相位关系将决定最终信号的振幅。如果原始信号和混叠信号相位相差180度，原始信号和混叠信号就会精确地相互抵消。