我的拉普拉斯变换数学非常生锈,但是拉普拉斯变换背后的整洁技巧是转换比较你的输入功能随时间改变幅度。
检查傅立叶变换:
\ $ \ hat {f}(\ omega)= \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f(t)\ e ^ { - i \ omega t} \,dx,\ $
本质上,它需要一个测试正弦波(\ $ e ^ {- iω\}\ $)频率\ $ \ omega \ $并确定正弦波对输入功能的相似程度1.它通过将该正弦波与所有时间的输入功能乘以并集成来确定这种相似性或“互相关”。如果此频率之间存在很少的相似性\ $ \ omega \ $和您的输入,那么这种集成将等于零。
如您所知,此测试信号永远不会改变幅度,只能用于检查输入的稳定状态行为。
现在与拉普拉斯变换进行比较:
\ $ f(s)= \ int_0 ^ \ infty f(t)e ^ { - st} \,dt \ $
非常相似,除了现在\ $ s \ $很复杂,替换真实的(不复杂)\ $ \ omega \ $.此外,整合现在不是所有时间,而是只有未来。
把它提升到一个复杂的幂\ $ s \ $是存在一个真实和一个虚构的组件,所以如果\ $ s = a + i b \ $, 然后^ \ $ e {-} = e ^{——}e ^ {ibt} \ $.现在我们有一个正弦波它要么呈指数增长,要么呈指数收缩,要么保持恒定的振幅取决于\ \ $美元.
该测试信号可以随时间变化,加上积分现在只在0开始的事实意味着我们现在可以从输入信号中提取瞬态响应。
\ \ $美元和\ \ b美元一起在复平面上确定一个点(这里称为s平面),然而\ $ \ omega \ $将永远在真实的线上。这就是@hotpaw2提到的额外自由度。这个点定义了拉普拉斯变换所使用的测试信号,你可以在这张图中看到在复s平面上移动点的效果:
![用于拉普拉斯变换信号的平面](https://i.stack.imgur.com/JfgCM.png)
描述信号傅里叶级数分解的图表很常见(比如这里的这个:https://en.wikipedia.org/wiki/fourier_series#/media/file:fourier_series_and_transform.gif.)
不太常见的是显示拉普拉斯变换分解的图,但我发现这个例子分析了一个RLC电路:![RLC电路的瞬态响应](https://i.stack.imgur.com/172dP.png)
在左上绘图上,您可以看到电流电流随时间,从0到5秒的大衰减瞬态。在左下角,您可以看到最初的瞬态结束和最终稳态行为(注意绘图标尺的大变化!)。
和相应的拉普拉斯分解:![RLC电路的拉普拉斯分解](https://i.stack.imgur.com/5JuH0.png)
在这里,您可以看到第一绘图中的总响应是此处绘制的两个术语的总和,并且初始瞬态衰减的影响随着时间的推移。
有更多信息,请参阅此页面:
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Formal_definition
1: 事实上,\ $ e ^ { - i \ omega} = \ cos x + i \ sin x \ $,因此它实际上是使用余弦和正弦波同时(旋转复杂点)作为测试功能。这就是傅立叶变换获取阶段信息的方式。这也是为什么上面的图像显示了卷曲3D螺旋,因为拉普拉斯变换也具有旋转复杂点。但是,只要一个正弦波就更容易想到它。
图像来源:https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/comparing_analog_digital_complex.html.https://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-differulate -equations-using-laplace-transform.html.
t = 0.
到T =无限
,瞬态包括在内。 \ \ endgroup \美元-Swedgin 19年10月31日8点