当我们提供一个正弦输入时，微分方程解的计算就变得很可怕。因此，我们给出一个虚的复指数输入并解微分方程，最后取虚部作为解(叠加定理)。所以一旦我们找到了复振幅我们就可以把它乘以\ $ e ^ {iωt} \ $，取虚部得到解。
我们可以找到正弦的稳定状态对给定系统的响应，用这个巧妙的技巧。当我们使用拉普拉斯变换时，据我所知，它也给出了一个复振幅，不仅对稳态响应，也包括瞬态响应，任何输入!．使用复杂数字建模正弦输入的珍贵技巧背后的想法是完全直观的。但我不知道拉普拉斯变换如何实现这一切，我甚至都不明白，为什么它要求使用复数号码？相反，它如何找到这种替代模型对于任何给定的输入，我们在以前的“技巧”中仅用于正弦投入。
我的拉普拉斯变换数学非常生锈，但是拉普拉斯变换背后的整洁技巧是转换比较你的输入功能随时间改变幅度。
检查傅立叶变换：
\ $ \ hat {f}（\ omega）= \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f（t）\ e ^ { - i \ omega t} \，dx，\ $
本质上，它需要一个测试正弦波（\ $ e ^ {- iω\}\ $）频率\ $ \ omega \ $并确定正弦波对输入功能的相似程度1．它通过将该正弦波与所有时间的输入功能乘以并集成来确定这种相似性或“互相关”。如果此频率之间存在很少的相似性\ $ \ omega \ $和您的输入，那么这种集成将等于零。
如您所知，此测试信号永远不会改变幅度，只能用于检查输入的稳定状态行为。
现在与拉普拉斯变换进行比较：
\ $ f（s）= \ int_0 ^ \ infty f（t）e ^ { - st} \，dt \ $
非常相似，除了现在\ $ s \ $很复杂，替换真实的（不复杂）\ $ \ omega \ $．此外，整合现在不是所有时间，而是只有未来。
把它提升到一个复杂的幂\ $ s \ $是存在一个真实和一个虚构的组件，所以如果\ $ s = a + i b \ $， 然后^ \ $ e {-} = e ^{——}e ^ {ibt} \ $．现在我们有一个正弦波它要么呈指数增长，要么呈指数收缩，要么保持恒定的振幅取决于\ \ $美元．
该测试信号可以随时间变化，加上积分现在只在0开始的事实意味着我们现在可以从输入信号中提取瞬态响应。
\ \ $美元和\ \ b美元一起在复平面上确定一个点(这里称为s平面)，然而\ $ \ omega \ $将永远在真实的线上。这就是@hotpaw2提到的额外自由度。这个点定义了拉普拉斯变换所使用的测试信号，你可以在这张图中看到在复s平面上移动点的效果:
描述信号傅里叶级数分解的图表很常见(比如这里的这个:https://en.wikipedia.org/wiki/fourier_series#/media/file:fourier_series_and_transform.gif.）
不太常见的是显示拉普拉斯变换分解的图，但我发现这个例子分析了一个RLC电路:
在左上绘图上，您可以看到电流电流随时间，从0到5秒的大衰减瞬态。在左下角，您可以看到最初的瞬态结束和最终稳态行为（注意绘图标尺的大变化！）。
和相应的拉普拉斯分解：
在这里，您可以看到第一绘图中的总响应是此处绘制的两个术语的总和，并且初始瞬态衰减的影响随着时间的推移。
有更多信息，请参阅此页面：
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Formal_definition
1： 事实上，\ $ e ^ { - i \ omega} = \ cos x + i \ sin x \ $，因此它实际上是使用余弦和正弦波同时（旋转复杂点）作为测试功能。这就是傅立叶变换获取阶段信息的方式。这也是为什么上面的图像显示了卷曲3D螺旋，因为拉普拉斯变换也具有旋转复杂点。但是，只要一个正弦波就更容易想到它。
图像来源：https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/comparing_analog_digital_complex.html.https://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-differulate -equations-using-laplace-transform.html.
当您拍摄一个整体变换时，您将引入感兴趣的功能，以保留原始函数的所有属性的不同坐标系。想想如何在矩形和极性坐标系中编写矢量，同时仍然是相同的向量。这就是您正在进行的整体变换，而不是转到二维极性空间，而不是将其投影到无限维希尔伯特空间中。所以，而不是拥有\ $ x \ $那\ $ y \ $等等，您的表格无数基础ω\ $ e ^ {j \} \ $．
要了解正在发生的事情，请考虑一个简单的矢量投影。这就是您在不同坐标系中获得相同矢量的组件的方式。
获取载体的组件\ \美元mathbf {} \ $在\ $ \ mathbf {b} \ $方向您只需拍摄DOT产品
$$ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} = \ sum_i a_i c_i $$
与单位矢量\ $ \ mathbf {c} \ $平行,\ $ \ mathbf {b} \ $．如果是矢量\ $ \ mathbf {c} \ $是复杂的，点产品具有其复杂的缀合物。因此
$$ \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} ^ * = \ sum_i a_i c_i ^ *。$$
当您投影一个功能时，您有无限的许多组件$ a（t）\ $．通过一个整体的变换，如傅里叶变换，您无限地依据ω\ $ e ^ {j \} \ $．每个基都有一个分量\ $ e ^ {j \ omega t} \ $．因此总结了\ $ i \ $变成了积分\ $ t \ $
$$ \ int _ { - \ infty} ^ \ idty a（t）\ left（e ^ {j \ omega t} \ revent）^ * \ \ mathrm {d} t = \ int _ { - \ infty} ^ \ idtya（t）e ^ { - j \ omega t} \ \ mathrm {d} t。$$
所以当你做积分变换时你会得到相同的函数但是在不同的坐标系中。因为它是同一个函数，所以它包含了两个坐标系中的瞬态响应。
如果您有一个无限的单频纯正弦曲线，稳态傅立叶分析是方便的。您可以轻松地将LTI系统的响应计算为此无限长的正弦曲线，因为它映射到傅立叶域中的单个点。
问题是，在现实世界中，信号有一个有限的长度(一个包络线)，它映射到傅里叶域的无限批(积分)频率。而计算无限批频率的响应可能需要无限数量的计算，这可能会花费很长时间。
拉普拉斯变换通过在其整体内核中包括时间来增加另一种自由度。因此，它可以代表单个复合物（或2D）点中的无限频率，从而允许计算对这些无限批次的无限批次的系统响应，其具有小于无限量的黑板。瞬态信号可以分解成这些无限批次的批次。
因此，通过添加另一种自由度，将其考虑（拉普拉斯变换）是在有限时间（和黑板）中进行无限量的单频稳态（傅里叶变换）分析的数学技巧。
添加：请注意，衰减指数的傅里叶变换无限制。在傅立叶空间中的无限，但拉普拉斯空间中的单个（复杂）点。
t = 0.到T =无限，瞬态包括在内。 \ \ endgroup \美元-Swedgin 19年10月31日8点