因果关系和稳定性如何影响线性时间不变系统的响应？

Question

假设有一个线性时间不变系统，具有以下传输功能：$$ h（s）= \ frac {1} {3（s-2）} - \ frac {1} {3（s + 1）} $$

如果系统是因果且稳定的，我可以确定\ $ h（t）\ $简单地评估拉普拉斯变换\ H (s) \美元．

现在，如果系统既稳定或因果，我将如何确定\ $ h（t）\ $？我不知道时域响应是如何受到因果关系和稳定性的影响的。

Answer 1

从技术上讲，拉普拉斯变换已经意味着一个因果系统的定义：

$$ f（s）= \ int_0 ^ \ infty f（t）e ^ { - st} dt $$

如你所见，积分从0开始，这意味着$ f（t <0）= 0 \ $．换句话说，非因果系统会反应前它收到了DIRAC脉冲或$ f（t <0）\ neq 0 \ $．在这种情况下，常规的拉普拉斯变换不起作用。

如果系统是因果的，则找到方法\ $ h（t）\ $不改变系统是否稳定或不稳定。您在左半平面和右半平面中具有杆的示例，因此仍然可以计算逆拉普拉斯变换（IIRC）

$$ \ frac {e ^ {2t}} {3} - \ frac {e ^ { - t}} {3} $$

正如您所看到的，第一个术语爆炸为\ $ t \ $增加，因此系统不稳定，但我不必使用任何奇怪的技术或其他东西。

如果已知传递函数是a双面拉普拉斯变换然后，您不能再次假设系统是因果的，而您仍然可能仍然从中重建脉冲响应，但我从未遇到过这种情况。

Answer 2

我写这个答案是因为在公认的答案中假设拉普拉斯变换是单向的但并不总是这样，所以对于更一般的情况，我们可以这样做

假设双边拉普拉斯变换和合理的功能（如此鉴于给出） -

可能的三个收敛区域（用于合理函数）

1.$$ \ left（ - \ infty，-1右）$$

在这种情况下，系统既不是因果也不稳定

2.$$ \ left（-1,2 \右）$$

在这种情况下，系统是稳定的，因为它包含虚构轴但不是因果的。

3.$ $ \左(右2 \ infty \) $ $

在这种情况下，系统是因果的，因为roc是正确的最杆但不稳定的权利

从以上三个条件，你可以得出变化的稳定性或因果关系条件意味着不同的ROC，对应每个ROC，我们得到不同的拉普拉斯逆变换(h(t))。

对于这些不同的ROC计算h(t)，有许多直接的方法，你可以在任何数学书中找到它们